题目内容

（2012•广东）已知函数f(x)=Acos(
x
4
+
π
6
)，x∈R，且f(
π
3
)=
2

（1）求A的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(4α+
4
3
π)=-
30
17
，f(4β-
2
3
π)=
8
5
，求cos（α+β）的值．
分析：（1）将f(
π
3
)=
2
代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；
（2）先将f(4α+
4
3
π)=-
30
17
，f(4β-
2
3
π)=
8
5
代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可
解答：解：（1）f(
π
3
)=Acos(
π
12
+
π
6
)=Acos
π
4
=
2
2
A=
2
，解得A=2
（2）f(4α+
4
3
π)=2cos(α+
π
3
+
π
6
)=2cos(α+
π
2
)=-2sinα=-
30
17
，即sinα=
15
17

f(4β-
2
3
π)=2cos(β-
π
6
+
π
6
)=2cosβ=
8
5
，即cosβ=
4
5

因为α，β∈[0，
π
2
]，
所以cosα=
1-sin2α
=
8
17
，sinβ=
1-cos2β
=
3
5
，
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=
8
17
×
4
5
-
15
17
×
3
5
=-
13
85
．
点评：本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题
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π
6
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（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(5α+
5
3
π)=-
6
5
，f(5β-
5
6
π)=
16
17
，求cos（α+β）的值．

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