题目内容

数列{a_n}满足a₁=1且 $数学公式$ ．
（1）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）
（2）设 $数学公式$ ，证明数列{b_n}的前n项和 $数学公式$
（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明： $数学公式$ （n≥1）（其中无理数e=2.71828…）

证明：（1）①当n=2 时，a₂=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2，那么 $\text{[math]}$ ．
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：a_n≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
当n=1时， $\text{[math]}$ ，
当n≥2时，a_n≥2， $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$
=1+ $\text{[math]}$ …（9分）
（3）当n≥2时，由（1）的结论知： $\text{[math]}$
∵ln（1+x）＜x，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
求和可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
而a₂=2，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （n≥2），而 $\text{[math]}$
故对任意的正整数n，有 $\text{[math]}$ ．…（14分）
分析：（1）利用数学归纳法的证题步骤，关键验证当n=k+1时不等式成立；
（2）对通项进行放缩，利用裂项法求和，即可证得结论；
（3）先证明n≥2时， $\text{[math]}$ ，再累加，即可证得结论．
点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法、累加法，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．