Question

如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，BD=1，BC=AD=2，沿BD将△ABD翻折，使得∠ADC=30°，得几何体B-ACD
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点D到面ABC的距离．

Answer 1

分析：（I）利用余弦定理与勾股定理解三角形，判断线线垂直，再根据线线垂直⇒线面垂直证明．
（II）先根据面面垂直关系，作交线的垂线，证线面垂直，再求解即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵BD⊥AD，BD⊥CD，AD∩CD=D，∴BD⊥平面ACD，
又∵AC?平面ACD，∴AC⊥BD
在△ACD中，∠ADC=

π

6

，AD=2，CD=

3

，
∴AC²=AD²+CD²-2AD•CDcos∠ADC=1
∴AD²=CD²+AC²，∴AC⊥CD，
又BD∩CD=D，∴AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）过D点作DE⊥BC，垂足为E点
由（Ⅰ）知：AC⊥平面BCD
∵AC?面ABC
∴面ABC⊥面BCD       …（8分）
又∵面ABC∩面BCD=BC
∴DE⊥面ABC
∴DE即为点D到面ABC的距离  …（10分）
∵在Rt△BCD中，BC•DE=BD•CD
∴2DE=1×

3

∴DE=

3

2

∴点D到面ABC的距离为

3

2

…（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定与点到平面的距离问题．线面垂直的证明方法：法一、线线垂直⇒线面垂直；法二、面面垂直⇒线面垂直；法三、

线线平行 线面垂直

⇒线面垂直．
点到平面的距离的求法：基本步骤是：1、作垂线段；2、证线面垂直；3、计算求解．
另：利用点到面的距离?面面距离的互化求解．