Question

给出下列三个结论：
①

a2+b2 2

≥

a+b

2

(a，b∈R)；
②（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）；
③（1+x）ⁿ＞1+nx（x＞-1且x≠0，n∈N且n≥2）．其中正确的个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：用比较法可证得①②正确，用数学归纳法可证的③正确．

解答：解：由于

a2+b2

2

-(

a+b

2

)2=

a2+b2-2ab

4

=

(a-b)

4

2≥0，
∴

a2+b2 2

≥

a+b

2

(a，b∈R) 成立，故 ①正确．
∵（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）-（a₁b₁+a₂b₂）² =a₁² b₂²+a₂² b₁²-2a₁b₁a₂b₂=（a₁b₂-a₂b₁）²≥0，
故 （a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≥（a₁b₁+a₂b₂）²   成立，故 ②正确．
③是正确的，下面用数学归纳法证之：
当n=2时，不等式显然成立． 假设（1+x）^k＞1+kx，
则 （1+x）^k+1＞（ 1+kx  ）（1+x）=1+（ k+1）x+k x²＞1+（ k+1）x，
故当n=k+1时，不等式也成立，∴③正确．
综上，这三个命题都正确，
故选 D．

点评：本题考查不等式的性质，不等式的证明方法，基本不等式的应用．