Question

已知函数f(x)（x∈R且x＞0），对于定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1时，f(x)＞0恒成立。
（1）求f(1)；
（2）证明方程f(x)=0有且仅有一个实根；
（3）若x∈[1，+∞)时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）令x=y=1，则，∴。
（2）任取，则，
由题意，，
又定义域内任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)- f(y)=f(x)，
，
∴，
∴函数f(x)在其定义域内为增函数，由（1）和f(1)=0，所以1为方程f(x)=0的一个实根，若还存在一个，且＞0，使得，
因为函数f(x)在其定义域内为增函数，必有，
故方程f(x)=0有且仅有一个实根。
（3）由（2）知函数f(x)在其定义域内为增函数，
当x∈[1，+∞)时，不等式恒成立，
即，即，
即在x∈[1，+∞)时，恒成立，
∵，
∴a＞-2。