Question

3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，AP=λAM，求
（1）λ的值；
（2）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{CP}$．

Answer 1

分析 （1）根据M是BC的中点，AN=2NC，便可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$，这样由B，P，N三点共线便可知$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$，从而求出λ的值；
（2）根据向量加法的几何意义，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$，根据上面求得的λ，可以用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$，然后进行向量的数乘运算便可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{CP}$．

解答 解：（1）根据条件，$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AM}=\frac{λ}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{λ}{2}（\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AN}）=\frac{λ}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AN}$；
∵B，P，N三点共线；
∴$\frac{λ}{2}+\frac{3λ}{4}=1$；
∴$λ=\frac{4}{5}$；
（2）根据（1），$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}$
=$-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{5}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$
=$\frac{2}{5}\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘、向量加法的几何意义，以及向量的数乘运算．