Question

若α，β满足

cos2(α-β)-cos2(α+β)= 1 2 (1+cos2α)(1+cos2β)= 1 3

，求tanαtanβ的值．

Answer 1

分析：根据二倍角公式，利用升角降次化简cos²（a-β）-cos²（a+β），得到sin2asin2β的值，（1+cos2a）（1+cos2β）利用二倍角公式消去常数，得到一个表达式，然后两个表达式作除法，化简可得tanαtanβ的值．

解答：解：cos²（a-β）-cos²（a+β）
=

1+cos2(a-β)

2

-

1+cos2(a+β)

2

=

1

2

[cos（2a-2β）-cos（2a+2β）]
=sin2asin2β
=

1

2

．
又∵（1+cos2a）（1+cos2β）
=2cos²a2cos²β
=

1

3

，
∴

sin2asin2β

2cos2a2sin2β

=

2sinacos2sinβcosβ

2cos2a2sin2β

=tanatanβ．
∴tanatanβ=

1 2

1 3

=

3

2

．

点评：本题是基础题，考查三角函数是化简求值，二倍角公式的灵活运用，升角降次，消去常数的方法，本题中得到了全面体现，是一个典型题目，好题，易错题．值得总结反思．