题目内容

已知f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0),证明方程f(x)=0有两个不相等的实数解的充要条件是:存在x0∈R,使af(x0)＜0.

思路分析：本题的大前提是f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R且a≠0),充分性：若存在x0∈R,使af(x0)＜0方程f(x)=0有两个不相等的实数解；必要性：由方程f(x)=0有两个不相等的实数解存在x0∈R,使af(x0)＜0.

证明:(1)充分性:若存在x0∈R,使af(x0)＜0.

b2-4ac=b2-4a［f(x0)-ax02-bx0］=b2+4abx0+4a2x02-4af(x0)=(b+2ax0)2-4af(x0)＞0.∴方程f(x)=0有两个不等实根.

(2)必要性:若方程f(x)=0有两个不等实根,则b2-4ac＞0.

设x0=,a·f(x0)=a［a()2+b()+c］

=＜0.

练习册系列答案
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已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
为奇函数（a，b是常数），且函数f（x）的图象过点(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求数列{an2}的通项公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，设Sn为bn的前n项和，证明：
1
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≤Sn＜
1
2
．
已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b为常数）为奇函数，且过点(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）定义正数数列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，证明：数列{
1
a
2
n
-2}是等比数列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn为{bn}的前n项和，求使Sn＞
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成立的最小n值．
已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）请用函数单调性的定义说明：f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；
（3）求f（x）的值域．
已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表达式．
已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，且f(c)=0,当0＜x＜c时，f(x)＞0.

（1）求证：＞c;

（2）求证：-2＜b＜-1;

（3）当c＞1,t＞0时，求证：++＞0.

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