Question

已知f(x)=

ax2+bx+1

x+c

(a＞0)是奇函数，且当x＞0时，f（x）有最小值2

2

，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：利用奇函数的性质：f（x）+f（-x）=0可求得b，c，再利用基本不等式可求得f（x）的最小值，令其等于2

2

可求a．

解答：解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，
即

ax2+bx+1

x+c

+

a(-x)2-bx+1

-x+c

=0，
∴

ax2+bx+1

x+c

-

ax2-bx+1

x-c

=0，化简可得（b-ac）x²=c，
则b-ac=0，且c=0，
∴b=c=0，
则f（x）=

ax2+1

x

=ax+

1

x

≥2

a

，当且仅当ax=

1

x

时取等号，
又x＞0时，f（x）有最小值2

2

，
∴2

a

=2

2

，解得a=2，
∴f(x)=

2x2+1

x

．

点评：本题考查函数奇偶性的性质、基本不等式求函数的最值，考查学生解决问题的能力．