Question

已知一组数据x₁，x₂，…，x_n的方差s²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]，其中

.

x

是这组数据的平均数．试证明s²=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2．

Answer 1

分析：将方差公式整理化简即可．

解答：解：由于s2=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]
=

1

n

[x12+x22+…+xn2-2(x1+x2+…+xn)•

.

x

+n

.

x

2]
=

1

n

(x12+x22+…+xn2-2n

.

x

•

.

x

+n

.

x

2)
=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2
则s²=

1

n

(x12+x22+…+xn2)-

.

x

2．

点评：本题考查方差的计算公式的运用．一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为

.

x

，则
方差S²=

1

n

[(x1-

.

x

)2+(x2-

.

x

)2+…+(xn-

.

x

)2]=

1

n

[x₁²+x₂²+…+x_n²-n

.

x

²]，
它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．