Question

【题目】已知函数,，其中且，为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）是否存在，对任意的，任意的，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;

当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.

（2）存在满足题意.

【解析】

(1)求出导数，分和讨论函数的单调区间和极值.

(2)由题意可得，利用导数求出和，解关于的不等式即可.

（1）（且）.

当时，由可得且；由可得,

函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，

，无极小值.

当时，由可得；由可得且,

函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，

，无极大值.

综上，当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，，，无极小值;

当时，函数的单调递减区间是，，单调递增区间是，，无极大值.

（2）由题意，只需.

由（1）知当，时，

函数在上单调递减，在上单调递增，

故.

，.

当，时，

由可得；由可得.

函数在上单调递增，在上单调递减，

.

故，不等式两边同乘以，得，

故.

，.

存在满足题意.