Question

设m，n是给定的整数，，是一个正2n+1边形，．求顶点属于P且恰有两个内角是锐角的凸m边形的个数．

Answer 1

见解析

解析:

先证一个引理：顶点在P中的凸m边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．

事实上，设这个凸边形为，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设，

则，        

更有．

而+，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理．

由引理知，若凸边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．

在凸边形中，设顶点与为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设与的劣弧上包含了的条边（），这样的在固定时恰有对．

（1） 若凸边形的其余个顶点全在劣弧上，而劣弧上有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

（2） 若凸边形的其余个顶点全在优弧上，取，的对径点，，由于凸边形在顶点，处的内角为锐角，所以，其余的个顶点全在劣弧上，而劣弧上恰有个中的点，此时这个顶点的取法数为．

所以，满足题设的凸边形的个数为

                    ．