Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为

1. A.
   7
2. B.
   8
3. C.
   9
4. D.
   10

Answer 1

B
分析：由已知可分析出函数g（x）是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，则函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和，求出（6，+∞）上所有零点，可得答案．
解答：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
又∵函数g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，
∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1，
即
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1
又∵当x＞2时，f（x）=
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[，]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[，]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[，]，当且仅当x=8时，f（x）=，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[，]，当且仅当x=10时，f（x）=，
故f（x）＜在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点
综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8
故选B
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找（6，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．