Question

如图，在空间中的直角三角形ABC与直角梯形EFGD中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB∥DE，AC∥DG．且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1．
（Ⅰ）求证：四点B、C、F、G共面；
（Ⅱ）求平面ADGC与平面BCGF所组成的二面角余弦值．

Answer 1

分析：（1）设DG的中点为M，连接AM、FM，根据条件可证明BF∥AM，BF=AM，AM∥CG，AM=CG从而得到GC∥BF，且GC=BF，根据平行线可确定一平面可得四点B、C、F、G共面；
（2）在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，根据二面角的平面角的定义可知∠MNF是所求二面角的平面角，在直角三角形MNF中，先求出此角的正切值，然后再求出余弦值．

解答：解（1）设DG的中点为M，连接AM、FM，
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以MF∥DE，且MF=DE
又∵AB∥DE，且AB=DE∴MF∥AB，且MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形，即BF∥AM，且BF=AM
又∵M为DG的中点，DG=2，AC=1，面ABC∥面DEFG
∴AC∥MG，且AC=MG，即四边形ACGM是平行四边形
∴GC∥AM，且GC=AM
故GC∥BF，且GC=BF，
即四点B、C、F、G共面；

（2）∵四边形EFGD是直角梯形，AD⊥面DEFG
∴DE⊥DG，DE⊥AD，即DE⊥面ADGC，
∵MF∥DE，且MF=DE，∴MF⊥面ADGC
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则
显然∠MNF是所求二面角的平面角．
∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM=MG=1
∴CD=CG=

5

，∴cos∠DGC=

GC2+GD2-CD2

2×GC×

=

5+4-5

2× 5 ×2

=

5

5

∴sin∠DGC=

2 5

5

，∴MN=MG•sin∠DGC=

2 5

5

在直角三角形MNF中，MF=2，MN

2 5

5

∴tan∠MNF=

MF

MN

=

2

2 5 5

=

5

，cos∠MNF=

6

6

故面ADGC与面BCGF所组成的二面角余弦值为

6

6

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识，考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．