Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=1，且${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{n+1}$，n∈N^*，则$\sum_{k=1}^{2014}{k（{a_{2015}}-{a_k}）}$=$\frac{2029105}{2}$．

Answer 1

分析 由递推公式得到a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，从而a₂₀₁₅-a_k=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{2015}$，由此得到$\sum_{k=1}^{2014}k（2015-{a}_{k}）$中，$\frac{1}{2015}$的和为1007，$\frac{1}{2014}$的和为$\frac{2013}{2}$，…，由此能求出$\sum_{k=1}^{2014}{k（{a_{2015}}-{a_k}）}$的值．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，且${a_{n+1}}={a_n}+\frac{1}{n+1}$，n∈N^*，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{1}{n+1}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴a₂₀₁₅-a_k=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{2015}$，
…
a₂₀₁₅-a₂₀₁₃=$\frac{1}{2014}+\frac{1}{2015}$，
a₂₀₁₅-a₂₀₁₄=$\frac{1}{2015}$，
由此得到$\sum_{k=1}^{2014}k（2015-{a}_{k}）$中，$\frac{1}{2015}$有：1+2+3+…+2014=$\frac{2014（1+2014）}{2}$=2015×1007个，和为2015×$1007×\frac{1}{2015}$=1007，
$\frac{1}{2014}$有：1+2+3+…+2013=$\frac{2013（1+2013）}{2}$=2013×1007个，和为$2013×1007×\frac{1}{2014}=\frac{2013}{2}$，
…
∴$\sum_{k=1}^{2014}{k（{a_{2015}}-{a_k}）}$=$\frac{2014}{2}+\frac{2013}{2}+…+\frac{1}{2}$=$\frac{2014×（\frac{2014}{2}+\frac{1}{2}）}{2}$=$\frac{2015×1007}{2}$=$\frac{2029105}{2}$．
故答案为：$\frac{2029105}{2}$．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要注意累加法和等差数列的性质的合理运用．