Question

如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为，CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，CD=4，BC=2，且BE=1，．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；
（2）求几何体ABCDE的体积；
（3）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中CD⊥⊙O所在的平面，BE∥CD，易得BE⊥平面ABC，则BE⊥AB，由BE=1，，易得AB是⊙O的直径，则AC⊥BC由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理可得平面ADC⊥平面BCDE；
（2）由（1）中结论，可得AC⊥平面BCDE，求出平面BCDE的面积和AC的长，代入棱锥体积公式，即可求出几何体ABCDE的体积；
（3）方法一：过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF，可得∠MAN为MA与平面ACD所成的角，设MN=x，则由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，我们可以构造关于x的方程，解方程即可求出x值，进而得到点M的位置．
方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，求出平面ABC的法向量和直线AM的方向向量（含参数λ），由直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，根据向量夹角公式，我们可以构造关于λ的方程，解方程即可得到λ值，进而得到点M的位置．
解答：解：（1）∵CD⊥平面ABC，BE∥CD
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB       …（1分）
∴
∵BE=1∴，
从而…（2分）
∵⊙O的半径为，
∴AB是直径，∴AC⊥BC…（3分）
又∵CD⊥平面ABC，
∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD
∵BC?平面BCDE，
∴平面ADC⊥平面BCDE      …（5分）
（2）由（1）知：，…（6分）
=…（9分）
（3）方法一：
假设点M存在，过点M作MN⊥CD于N，连接AN，作MF⊥CB于F，连接AF
∵平面ADC⊥平面BCDE，∴MN⊥平面ACD，
∴∠MAN为MA与平面ACD所成的角                              …（10分）
设MN=x，计算易得，DN=，MF=…（11分）
故…（12分）
解得：（舍去） ，…（13分）
故，从而满足条件的点M存在，且…（14分）
方法二：建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，则：
A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0）
则…（10分）
易知平面ABC的法向量为，
假设M点存在，设M（a，b，c），则，
再设∴，
即M（0，2λ，4-3λ），从而
…（11分）
设直线BM与平面ABD所成的角为θ，
则：…（12分）
解得，…（13分）
其中应舍去，而
故满足条件的点M存在，且点M的坐标为…（14分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得CD⊥平面ABC，（2）的关键是得到几何体是一个以AC为高，以BCDE为底面的四棱锥，（3）的关键是直线AM与平面ACD所成角的正弦值为，构造满足条件的方程．