Question

（2005•海淀区二模）如图所示，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α（0＜α＜

π

2

）．把△ABC沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD
（Ⅰ）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（Ⅱ）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积；
（Ⅲ）当点B′在平面ACD内的射影为线段CD的中点时，求异面直线AD与B′C所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）作B'E⊥CD于E，由面面垂直的性质证出B'E⊥平面ACD，得B'E长就是点B'到平面ACD的距离，然后在Rt△B'EC中利用三角函数的定义，即可算出B'E=BCsinα=sinα；
（II）根据三垂线定理，证出AD⊥CD．等腰Rt△ABC中，根据D为AB的中点且α=45°，算出S_△ACD和B'E长，利用三棱锥体积公式，即可算出B′-ACD的体积；
（III）作CF∥DA，并作EF⊥CF于F，连接B'F得∠B'CF为B'C与AD所成的角．利用等腰△B'CD算出∠B'DC=α=67.5°，根据二倍角的余弦公式算出CF=B'C（cos67.5°）²=

2- 2

4

，利用三垂线定理证出B'F⊥CF，在Rt△B'CF中，利用三角函数的定义算出cos∠B′CF的值，从而可得B'C与AD所成的角为arccos

2- 2

4

．

解答：解：（I）作B'E⊥CD于E
∵平面B'CD⊥平面ACD，平面B'CD∩平面ACD=CD，
∴B'E⊥平面ACD，可得B'E长就是点B'到平面ACD的距离
∵Rt△B'EC中，∠B'CE=α，BC=1，
∴B'E=BCsinα=sinα
（II）∵B'E⊥平面ACD，∴CE为B'C在平面ACD内的射影，
又∵AD⊥B'C，∴AD⊥CE即AD⊥CD
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴D为AB的中点，且α=45°
∴S_△ACD=

1

2

•

1

2

AC×BC=

1

4

，B'E=sin45°=

2

2

∴三棱锥B′-ACD的体积V=

1

3

×

1

4

×

2

2

=

2

24

（III）∵E为CD中点，且B'E⊥CD，
∴等腰△B'CD中，B'D=B'C=1，∠B'DC=α=67.5°
作CF∥DA，并作EF⊥CF于F
连接B'F，则∠B'CF为B'C与AD所成的角．…（11分）
在Rt△FCE中，∠FCE=∠BDC=∠B'DC=∠B'CD=α=67.5°
∴CF=B'C（cos67.5°）²=

1+cos135°

2

=

2- 2

4

∵B'E⊥平面ACD，EF⊥CF，
∴B'F⊥CF
∴Rt△B'CF中，cos∠B′CF=

CF

B′C

=

2- 2

4

＞0，可得∠B’CF=arccos

2- 2

4

即B'C与AD所成的角为arccos

2- 2

4

点评：本题将等腰直角三角形纸片折叠，求空间距离和空间角的大小，着重考查了三垂线定理、面面垂直的性质、异面直线所成角的定义与求法和锥体的体积公式等知识，属于中档题．