Question

（2012•虹口区二模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=6，用过A₁，B，C₁三点的平面截去长方体的一个角后，留下如图的几何体，且这几何体的体积为120．
（1）求棱AA₁的长；
（2）求点D₁到平面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）通过长方体的体积减去三棱锥的体积直接求棱AA₁的长；
（2）建立空间直角坐标系，求出A₁，B，C₁，D₁．设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，通过

6y-4z=0 -6x+6y=0

得

n

=(2，2，3)利用d=

| BD1 • n |

| n |

，求出点D₁到平面A₁BC₁的距离．

解答：解：（1）设AA₁=h，由几何体的体积关系可得：
V=6²•h-

1

3

×

1

2

×62×h=120
∴AA₁=h=4…（4分）
（2）如图建立空间直角坐标系，
则A₁（6，0，4），B（6，6，0），C₁（0，6，4），D₁（0，0，6）．
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
∴

A1B

=(0，6，-4)，

A1C1

=(-6，6，0)，由

6y-4z=0 -6x+6y=0

得

n

=(2，2，3)…（8分）
又

BD1

=(-6，-6，4)，
∴d=

| BD1 • n |

| n |

=

12 17

17

…（12分）

点评：本题考查几何体的体积的求法，空间直角坐标系，距离的求法，考查计算能力．