Question

（2010•宿州三模）在△ABC中，三内角分别为A，B，C，且C=

π

3

．
（1）若cosB=

3

5

，求cos（2B+C）；
（2）若

m

=(cosB，sinB)，

n

=(1，

3

)，求

m

•

n

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用同角基本关系式求出sinB，再结合二倍角公式求出cos2B，sin2B，最后代入两角和的余弦公式即可得到答案．
（2）先求出

m

•

n

的表达式，结合角B的范围以及余弦函数的范围即可求出结论．

解答：解：（1）由题意得，sinB=

1-cos2B

=

4

5

，…（2分）
∴cos2B=2cos2B-1=-

7

25

，sin2B=2sinBcosB=

24

25

…（4分）
∴cos(2B+C)=cos2BcocC-sin2BsinC=-

7

25

•

1

2

-

24

25

•

3

2

=

-7-24 3

50

．   …（6分）
（2）

m

•

n

=cosB+

3

sinB=2cos(B-

π

3

)…（8分）
∵B∈(0，

2π

3

)，
∴B-

π

3

∈(-

π

3

，

π

3

)，
∴cos(B-

π

3

)∈(

1

2

，1]
∴

m

•

n

∈(1，2]．     …（12分）

点评：本题主要考查余弦函数的定义域和值域以及三角公式的应用．解决本题第二问的关键在于根据角B的范围，求出cos（B-

π

3

）的范围．