Question

13．若?x₁，x₂，x₃∈R，都有f（x₁）+f（x₂）≥f（x₃），则称f（x）为等差函数．若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+m为等差函数，则m的取值范围为[$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 f（x）为等差函数即函数最小值的2倍，不小于函数的最大值，进而求出函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+m的最值，可得答案．

解答 解：f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+m=$\frac{1}{{[（\frac{1}{2}）}^{x}]^{2}-{（\frac{1}{2}）}^{x}+1}$+m=$\frac{1}{{{[（\frac{1}{2}）}^{x}-\frac{1}{2}]}^{2}+\frac{3}{4}}$+m，
∵${（\frac{1}{2}）}^{x}$＞0恒成立，故${{[（\frac{1}{2}）}^{x}-\frac{1}{2}]}^{2}+\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
故$\frac{1}{{{[（\frac{1}{2}）}^{x}-\frac{1}{2}]}^{2}+\frac{3}{4}}$∈（0，$\frac{4}{3}$]，
则f（x）∈（m，m+$\frac{4}{3}$]，
若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}-{2}^{x}+1}$+m为等差函数，
则2m≥m+$\frac{4}{3}$，
解得：m∈[$\frac{4}{3}$，+∞），
故答案为：[$\frac{4}{3}$，+∞）

点评 本题是新定义题，考查函数的单调性求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属有一定难度问题．