题目内容

13．如图所示，?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=4，BD=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{7}$，过点D作DE⊥AB，垂足为E．请问四边形ABCD是菱形吗？请说明理由．

分析 利用对角线垂直的平行四边形是菱形，可得结论．

解答 解：∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=4，BD=2$\sqrt{3}$，AB=$\sqrt{7}$，
∴OB2+OC2=AB2=7，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查证明四边形ABCD是菱形，利用对角线垂直的平行四边形是菱形是关键．

练习册系列答案
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13．“x＞2”是“2x＞x2”的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanB+tanC=$\sqrt{3}$tanBtanC-$\sqrt{3}$．
（1）若cosC=$\frac{12}{13}$，求sinB的值；
（2）若△ABC的面积为3，b+c=3+2$\sqrt{3}$，求a的值．
1．如图，已知动圆M过定点F（1，0）且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，点F′的轨迹为H．
（1）求曲线H的方程；
（2）一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线x=1上的动点．
①求证：∠ACB不可能是钝角；
②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
8．已知sinα+sinβ=a，cosα+cosβ=b，且ab≠0，求tan$\frac{α}{2}$+tan$\frac{β}{2}$的值．
18．已知三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC内的射影为点H，侧棱PA=PB=PC，点O为三棱锥P-ABC的外接球O的球心，AB=8，AC=6，已知$\overrightarrow{AO}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}+\frac{1}{1+\sqrt{5}}\overrightarrow{HP}$，且μ+2λ=1，则球O的表面积为81π．
5．甲办理了1万元的定活两便储蓄，利息按2.25%再打六折；乙同时办理了1万元的一年定期储蓄，利率2.25%，一年后两人同时取出，甲比乙少得利息多少元？
2．已知函数f（x）=xlnx-x+$\frac{1}{2}$x2-$\frac{1}{3}$ax3，f（x）为函数f（x）的导函数．
（l）若F（x）=f（x）+b，函数F（x）在x=1处的切线方程为2x+y-1=0，求a、b的值；
（2）若f′（x）≤-x+ax恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）上存在两条倾斜角为锐角且互相平行的切线，求实数a的取值范围．
3．若向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$，$（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$．则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角等于45°；$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$=$\sqrt{10}$．

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