Question

（2013•渭南二模）在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F₁（-1，0），F₂（1，0）的距离之和为2

2

，设点E的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点，若以 段PQ为直径的圆经过坐标原点O，试求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的定义可知，点E的轨迹C是以两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）为焦点，长半轴长为2

2

的椭圆，由此可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+n，代入椭圆方程，利用韦达定理及

OP

•

OQ

=0，即可确定直线l在y轴上截距的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，点E的轨迹是以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，以2

2

为长轴的椭圆
∵c=1，a=

2

，∴b=1
∴C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+n，代入椭圆方程，消去y可得（2k²+1）x²+4knx+2n²-2=0
则△=16k²n²-8（n²-1）（2k²+1）＞0，即2k²-n²+1＞0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-4kn

2k2+1

，x₁x₂=

2n2-2

2k2+1

由题意，

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（kx₁+n）（kx₂+n）=0
整理可得（k²+1）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0
∴（k²+1）•

2n2-2

2k2+1

+kn•

-4kn

2k2+1

+n²=0
化简可得3n²=2k²+2，代入①整理可得n2＞

1

2

∴直线l在y轴上截距的取值范围是(-∞，-

2

2

)∪(

2

2

，+∞)．

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．