Question

经过点（3，0）的直线l与抛物线y=

x2

2

的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于（　　）

• A、-

  1

  6

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

分析：设出两交点坐标，进而对抛物线方程求导，进而可得两切点处切线斜率，根据切线相互垂直求得xy=1，根据（-x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²），（3，0）三点共线，代入三个点的坐标求得x，进而根据两点式求得直线的斜率．

解答：解：设两交点为（-x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²）
则y=

x2

2

求导，得到两点处切线斜率为：-x，y
因为垂直：所以xy=1
∴y=

1

x

．
因为（-x，

1

2

x²），（y，

1

2

y²），（3，0）共线
所以：

x2 2

3+x

=

1 x 2

3- 1 x

解得x=

1

6

-

1

6

37

．
从而斜率为：

1 2 (  1 6 - 1 6 37 ) 2

3+ 1 6 - 1 6 37

=-

1

6

故选A

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．问题综合性强，解析几何的所有知识均涉及，还涉及函数、不等式等很多代数知识，
当然还会用到平面几何知识．故要求学生对基本知识要相当熟悉．