Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，设函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）答案不唯一，见解析 （3）

【解析】

（1）求导，接着单调区间，即可得出最小值；

（2）求导，对分类讨论，可求出函数的单调区间；

（3）求出，通过分析，可得到在增函数，从而有，转化为在上至少有两个不同的正根，，转化为与至少有两个交点，即可求出实数的最大值.

（1）当时，，

这时的导数，

令，即，解得，

令得到，

令得到，

故函数在单调递减，在单调递增；

故函数在时取到最小值，

故；

（2）当时，函数

导数为，

若时，，单调递减，

若时，，

当或时，，

当时，，

即函数在区间，上单调递减，

在区间上单调递增.

若时，，

当或时，，

当时，，

函数在区间，上单调递减，

在区间上单调递增.

综上，若时，函数的减区间为，无增区间，

若时，函数的减区间为，，增区间为，

若时，函数的减区间为，，增区间为.

（3）当时，设函数.

令，，

当时，，为增函数，

，为增函数，

在区间上递增，

∵在上的值域是，

所以在上至少有两个不同

的正根，，

令，求导得，，

令，

则，

所以在递增，，，

当，，∴，

当，，∴，

所以在上递减，在上递增，

∴，∴，

∴的最大值为.