Question

【题目】曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）

【解析】

(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解.

(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；

解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.

(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，

可得曲线的直角坐标方程为，即，

则曲线的极坐标方程为，即，

又因为曲线的极坐标方程为，即，

根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.

(2)解法1：设直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数，），

把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，

解得，，，

把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，

解得，，，

，

，即，，，

，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为.

解法2：设直线的极坐标方程为），

代入曲线的极坐标方程，得，，

把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，

，即，，

曲线的参，即，

，，，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为.