Question

【题目】已知圆及直线，直线被圆截得的弦长为．

（）求实数的值．

（）求过点并与圆相切的切线方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，然后由大于0，得到满足题意的值；（2）把（1）求出的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为，由和设出的写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离，让等于圆的半径即可列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，把的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.

试题解析：（）根据题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，

由勾股定理可以知道，代入化简得，

解得或，

又，

所以．

（）由（）知圆，圆心为，半径，

点到圆心的距离为，故点在圆外，

当切线方程的斜率存在时，设方程为，则圆心到切线的距离，

化简得：，故．

∴切线方程为，

即，

当切线方程斜率不存在时，直线方程为与圆相切，

综上，过点并与圆相切的切线方程为或．