Question

已知函数f（x）=

x2

e

，g（x）=2alnx（e为自然对数的底数，a＞0）
（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，若F（x）有最值，请求出最值；
（2）当a=1时，求f（x）与g（x）图象的一个公共点坐标，并求它们在该公共点处的切线方程．

Answer 1

分析：首先对于（1）求F（x）=f（x）-g（x）的单调区间，及函数F（x）的最值，考虑到先列出函数的表达式，再根据表达式求出导函数F′（x），根据导函数在区间的正负性判断函数的单调区间，再使导函数等于0求出函数的极值，即可得到答案．
对于（2）当a=1时，求f（x）与g（x）的一个公共点，并求它们在该公共点处的切线方程，故根据（1）可判断方程F（x）=f（x）-g（x）有最小值0，故此点即为f（x）与g（x）的一个公共点．再根据导函数求出公共点处切线．即可根据直线方程的求法求出切线方程．

解答：解：（1）因为F（x）=f（x）-g（x）=

x2

e

-2alnx
所以F′(x)=f′(x)-g′(x)=

2x

e

-

2a

x

=

2(x2-ea)

ex

=

2(x+ ea )(x- ea )

ex

(x＞0，a＞0)
若0＜x＜

ea

，则F'（x）＜0，F（x）在(0，

ea

)上单调递减；
若x＞

ea

，则F'（x）＞0，F（x）在(

ea

，+∞)上单调递增．
∴当x=

ea

时，F（x）有极小值，也是最小值，
即F(x)min=F(

ea

)=a-2aln

ea

=-alna，
∴当a＞0时，F（x）的单调递减区间为(0，

ea

)，
故函数F（x）的单调递增区间为（

ea

，+∞），最小值为-alna无最大值．

（2）当a=1时，由（1）可知F（x）_min=F（

e

）=0
F(x)min=F(

e

)=0，得f(e)=g(

e

)=1
∴(

e

，1)是f（x）与g（x）图象的一个公共点．
又∵f′(

e

)=g′(

e

)=

2

e

，
∴f（x）与g（x）的图象在点（

e

，1）处有共同的切线，
其方程为y-1=

2

e

(x-

e

)，
故y=

2

e

x-1．

点评：此题主要考查利用导函数求闭区间最值的问题，其中涉及到直线方程的求法问题，属于函数方面的综合性问题，对学生基础知识的综合能力要求较高，属于中档题目．