Question

（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-f（x）=2x+9，求f（x）的解析式．
（2）若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²-2x+3．求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）设出一次函数解析式，然后代入3f（x+1）-f（x）=2x+9，由系数相等列式求解a，b的值，则答案可求；
（2）设x＜0，由题目给出的x＞0时的解析式，利用函数奇偶性的性质求解x＜0的解析式，再由定义在实数上的奇函数有f（0）=0即可得到完整答案．

解答：解：（1）∵f（x）是一次函数，∴设f（x）=ax+b（a≠0）．
由3f（x+1）-f（x）=2x+9，得3[a（x+1）+b]-ax-b=2x+9．
即2ax+3a+2b=2x+9，

2a=2 3a+2b=9

，解得

a=1 b=3

．
∴f（x）=x+3；
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-2x+3，
设x＜0，则-x＞0，
由x＞0时，f（x）=x²-2x+3，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）+3=x²+2x+3．
-f（x）=x²+2x+3，∴f（x）=-x²-2x-3．
又定义在R上的奇函数有f（0）=0．
∴f(x)=

x2-2x+3，(x＞0) 0，(x=0) -x2-2x-3，(x＜0)

．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了利用代入法求函数解析式，给出了函数在某一区间上的解析式，求函数在另一区间上的解析式时，常用的方法是把变量转化到给定解析式的区间上，该题是中档题．