Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求得c=0；若A={1，2}，则说明f（x）-x=0两根为1，2．利用韦达定理求a，b，再利用二次函数图象与性质求解．
（2）若A={2}，得到方程f（x）-x=0有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[-2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．

解答：解：（1）∵f（0）=2，∴c=2
∵A={1，2}，∴ax²+（b-1）x+2=0有两根为1，2．
由韦达定理得，

2 a =1×2 1-b a =1+2

∴

a=1 b=-2

∴f（x）=x²-2x+2
∵x∈[-2，2]，∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1
（2）若A={2}，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=2，
根据韦达定理得到：2+2=-

b-1

a

，2×2=

c

a

，所以c=4a，b=1-4a，

∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-4a）x+4a，x∈[-2，2]
其对称轴方程为x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈[

3

2

，2)
∴M=f（-2）=16a-2，m=f（2-

1

2a

）=2-

1

4a

则g（a）=M+m=16a-2+2-

1

4a

=16-

1

4a

又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，
∴当a=1时，g（a）_min=16-

1

4

=

63

4

点评：查学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．