Question

如图，已知∠A=60°，P、Q分别是∠A两边上的动点．
（1）当AP=1，AQ=3时，求PQ的长；
（2）已知AP+AQ=4，当线段AP为何值时，线段PQ取得最小值，并求线段PQ的最小值．

Answer 1

分析：（1）由A的度数求出cosA的值，利用余弦定理得到PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，将AP，AQ及cosA的值代入求出PQ的长即可；
（2）设AP=x，AQ=y，由AP+AQ=4，得到x+y=4，利用余弦定理得到PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，将设出的AP，AQ代入并利用完全平方公式变形后，把x+y的值代入并利用基本不等式变形，即可求出当且仅当x=y，即AP=BP=2时，PQ取得最小值，最小值是2．

解答：解：（1）∵∠A=60°，AP=1，AQ=3，
∴由余弦定理得PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA=7，
∴PQ=

7

；
（2）设AP=x，AQ=y，由AP+AQ=4，得到x+y=4，
∵∠A=60°，
∴PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA=x²+y²-xy=（x+y）²-3xy=16-3xy，
∵

xy

≤

x+y

2

=2（x＞0，y＞0），
∴xy≤4，
∴PQ²=16-3xy≥16-3×4=4，
则当且仅当x=y，即AP=BP=2时，PQ取得最小值，最小值是2．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．