Question

如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，

，.是的中点，

　　（Ⅰ）求证：平面⊥平面；　　　　　　　

　　 （Ⅱ）求二面角所成平面角的余弦值；

　　 （Ⅲ）求点到平面的距离.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）      

    

    而                       

                                      

（Ⅱ）连结、，取中点， 连结 ， 则,

∵平面，   ∴平面，

过作交于，连结，

则就是二面角所成平面角.           

由，则.

在中，   解得

因为是的中点，所以             

而，由勾股定理可得             

                

（Ⅲ）连结，在三棱锥中，

      

        点到底面的距离，

则由，即

  求得

所以点到平面的距离是.          

解法二：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则(0，0，0)，(2，0，0)，(2，4，0)，(0，4，0)，

(0，2，1)，(0，0，2).                               

∴＝(2，0，0)，＝(0，4，0)，＝(0，0，2)，  ＝(－2，0，0)，

＝(0，2，1) ，＝(2，4，0)，                 　      　

（Ⅰ） 

又              　

   

    而

∴平面⊥平面.　　　　　　　　　  

（Ⅱ）设平面的法向量

由即

∴=.                           

平面的法向量＝(0，0，2)，

所以二面角所成平面角的余弦值是. 

（Ⅲ） 设点到平面的距离为，

＝(2，0，0)，  =.            

则=

所以点到平面的距离是.