Question

已知函数f（x）满足：f（+1）=x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由解析式设t=，解出x和范围后代入函数解析式，然后把变量t换成x即可；也可以把等式的右边配方出现和常数的形式，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）的x范围分离出a，即对任意的a∈[-1，1]恒成立，再把a当成变量列出关于x的不等式求解即可．
解答：解：（1）设t=，则t≥1，且x=（t-1）²，
∴f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴函数的解析式是：f（x）=x²-1（x≥1），
另解：，
∴f（x）=x²-1（x≥1），
（2）由题意得，x²-1≥ax对任意的a∈[-1，1]恒成立，
又x≥1，∴对任意的a∈[-1，1]恒成立，
∴，即x²-x-1≥0，
解得或（舍去），
故x的取值范围是．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法：配方法和换元法等方法，以及分离参数法处理恒成立问题，运用换元法求解函数解析式时一定要注意变量的取值范围，因为忽略这一点而导致求得的函数解析式出错．