Question

设数列{a_n}(n＝1，2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{a_n}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．

(1)若a₁＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”；

(2)试判断数列a_n＝2n－7(n∈N^*)是否是“封闭数列”，为什么？

(3)设S_n是数列{a_n}的前n项和，若公差d＝1，a₁＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求{a_n}的通项公式，若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：，1分 　　对任意的，有 　　，3分 　　∵m＋n＋1∈N*于是，令，则有5分 　　(2)，7分 　　令，9分 　　所以数列不是封闭数列；10分 　　(3)解：由是“封闭数列”，得：对任意，必存在使 　　成立，11分 　　于是有为整数，又是正整数．13分 　　若则，所以，14分 　　若，则，所以，16分 　　若，则，于是 　　，所以，17分 　　综上所述，，显然，该数列是“封闭数列”．18分