题目内容
设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列,且公差为d,若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1=4,d=2,求证:该数列是“封闭数列”.
(2)若an=2n-7(n∈N+),试判断数列{an}是否是“封闭数列”,为什么?
(3)设Sn是数列{an}的前n项和,若公差d=1,a1>0,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使<
+
+…+
<
.若存在,求{an}的通项公式;若不存在,说明理由.
(1)an=4+(n-1)·2=2n+2,
对任意的m,n∈N+,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,
∵m+n+1∈N+于是,令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}.
(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-N+,所以数列{an}不是封闭数列.
(3)由{an}是“封闭数列”,得:对任意m,n∈N+,必存在p∈N+使a1+(n-1)+a1+(m-1)=a1+(p-1)成立,于是有a1=p-m-n+1为整数,
又∵a1>0,∴a1是正整数.
若a1=1,则Sn=,所以
+
+…+
=2(1-)>
,不符合题意,
若a1=2,则Sn=,所以
+
+…+
=
(1+
+
-
-
-
)
=-
×(
+
+
)<
,而
-
×(
+
+
)>
-
×
=
-
>
,所以符合题意,
若a1=3,则Sn=,所以
+
+…+
=
(1+
+
+
+
-
-
-
-
-
)
=-
(
+
+
+
+
)<
,
综上所述,a1=2时存在数列{an}是“封闭数列”,此时an=n+1(n∈N+).
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