题目内容
设数列{an}(n＝1,2，…)是等差数列，且公差为d，若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
(1)若a1＝4，d＝2，求证：该数列是“封闭数列”.
(2)若an＝2n－7(n∈N＋)，试判断数
列{an}是否是“封闭数列”，为什么？
(3)设Sn是数列{an}的前n项和，若公差d＝1，a1＞0，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使
＜
＋
＋…＋
＜
.若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由.
(1)an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2，
对任意的m，n∈N＋，有am＋an＝(2m＋2)＋(2n＋2)
＝2(m＋n＋1)＋2，
∵m＋n＋1∈N＋于是，令p＝m＋n＋1，则有ap＝2p＋2∈{an}.
(2)∵a1＝－5，a2＝－3，∴a1＋a2＝－8，令an＝a1＋a2＝－8，即2n－7＝－8解得n＝－
N＋，所以数列{an}不是封闭数列.
(3)由{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N＋，必存在p∈N＋使a1＋(n－1)＋a1＋(m－1)＝a1＋(p－1)成立，于是有a1＝p－m－n＋1为整数，
又∵a1＞0，∴a1是正整数.
若a1＝1，则Sn＝
，所以＋＋…＋
＝2(1－
)＞，不符合题意，
若a1＝2，则Sn＝
，所以＋＋…＋＝
(1＋＋
－－
－
)
＝－×(＋＋)＜，而－×(＋＋)＞－×
＝－
＞，所以符合题意，
若a1＝3，则Sn＝
，所以＋＋…＋＝
(1＋＋＋
＋
－－－－
－
)
＝－(＋＋＋＋)＜，
综上所述，a1＝2时存在数列{an}是“封闭数列”，此时an＝n＋1(n∈N＋).
练习册系列答案
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)(n≥2)，求数列{an}的通项公式；
．
；若存在，求{an}的通项公式，若不存在，说明理由；
；若存在，求{an}的通项公式，若不存在，说明理由．