题目内容

设数列{an}(n=1,2,…)是等差数列,且公差为d,若数列{an}中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.

(1)若a1=4,d=2,求证:该数列是“封闭数列”.

(2)若an=2n-7(n∈N),试判断数列{an}是否是“封闭数列”,为什么?

(3)设Sn是数列{an}的前n项和,若公差d=1,a1>0,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使+…+.若存在,求{an}的通项公式;若不存在,说明理由.

(1)an=4+(n-1)·2=2n+2,

对任意的m,n∈N,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,

∵m+n+1∈N于是,令p=m+n+1,则有ap=2p+2∈{an}.

(2)∵a1=-5,a2=-3,∴a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解得n=-N,所以数列{an}不是封闭数列.

(3)由{an}是“封闭数列”,得:对任意m,n∈N,必存在p∈N使a1+(n-1)+a1+(m-1)=a1+(p-1)成立,于是有a1=p-m-n+1为整数,

又∵a1>0,∴a1是正整数.

若a1=1,则Sn,所以+…+

=2(1-)>,不符合题意,

若a1=2,则Sn,所以+…+(1+)

×()<,而×()>×,所以符合题意,

若a1=3,则Sn,所以+…+(1+)

()<

综上所述,a1=2时存在数列{an}是“封闭数列”,此时an=n+1(n∈N).

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