题目内容
若函数f(x)=x2+
(a∈R)，则下列结论正确的是（ ）
①?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 ②?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数
③?a∈R，f（x）是偶函数 ④?a∈R，f（x）是奇函数．
| a |
| x |
①?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是增函数 ②?a∈R，f（x）在（0，+∞）上是减函数
③?a∈R，f（x）是偶函数 ④?a∈R，f（x）是奇函数．
分析：对函数f（x）求导，利用f′（x）判定f（x）在（0，+∞）上的增减性，从而判定①、②是否正确；由奇偶性的定义判定③、④是否正确；
解答：解：∵函数f(x)=x2+
(a∈R)，
∴f′（x）=2x-
=
，显然x∈（0，+∞）时，对任意的a∈R，2x3-a≥0不恒成立，即f′（x）≥0不恒成立，f（x）在（0，+∞）上不恒为增函数，①不正确；
也不存在a∈R，使2x3-a≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即f′（x）≤0不恒成立，∴②不正确；
当a=0时，f（x）=x2是R上的偶函数，∴③正确；
∵f（-x）+f（x）=（-x）2+
+x2+
=2x2∴不存在a∈R，使f（x）是奇函数，∴④不正确；
综上，正确的结论只有一个；
故选：B．
| a |
| x |
∴f′（x）=2x-
| a |
| x2 |
| 2x3-a |
| x2 |
也不存在a∈R，使2x3-a≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，即f′（x）≤0不恒成立，∴②不正确；
当a=0时，f（x）=x2是R上的偶函数，∴③正确；
∵f（-x）+f（x）=（-x）2+
| a |
| -x |
| a |
| x |
综上，正确的结论只有一个；
故选：B．
点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的判定问题，是基础题中的易错题．
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