Question

已知函数f（x）=x²+2x•tanθ-1，x∈[-1，

3

]，θ∈(-

π

2

，

π

2

)．
（1）当θ=-

π

6

时，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1，

3

]上是单调函数．

Answer 1

分析：（1）将θ的值代入，通过配方求出二次函数的对称轴，求出二次函数的最小值．
（2）通过配方求出二次函数的对称轴，据二次函数的单调性与对称轴的关系，列出不等式，通过解三角不等式求出θ

解答：解：（1）当θ=-

π

6

时，f(x)=x2-

2 3

3

x-1=(x-

3

3

)2-

4

3

，
x∈[-1 ， 

3

]，
∴x=

3

3

时，f（x）的最小值为-

4

3

．
x=-1时，f（x）的最大值为

2 3

3

．
（2）函数f（x）=（x+tanθ）²-1-tan²θ图象的对称轴为x=-tanθ．
∵y=f（x）在区间[-1 ， 

3

]上是单调函数．
∴-tanθ≤-1或-tanθ≥

3

，
即tanθ≥1或　tanθ≤-

3

，
因此θ的取值范围是(-

π

2

 ， -

π

3

]∪[

π

4

 ， 

π

2

)．

点评：本题考查二次函数的最值的求法、考查二次函数的单调性：在对称轴处分成两个单调区间．