Question

 (理科)(本题满分14分)已知函数f(x)=ex-kx，x∈R.

    (Ⅰ)若k=e，试确定函数f(x)的单调区间；

    (Ⅱ)若k>0，且对于任意x∈R，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k的取值范围.

Answer 1

 (理科)解：(Ⅰ)由k=e得f(x)=ex-ex，所以f(x)=ex-e.

由f(x)>0得x>1，

                  故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)；……………………4分

由f(x)<0得x<1，

故f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ……………………6分

    (Ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数. 于是f(|x|)>0对任意x∈R成立等价于f(x)>0对任意x≥0成立. 由f(x)=ex-k=0得x=lnk.

①当k∈(0,1时，f(x)=ex-k>1-k≥0(x>0). 此时f(x)在[0,+∞上单调递增. 故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意.所以0<k≤1. …………10分②当k∈(1,+∞)时，lnk>0. 当x变化时f(x)，f(x)的变化情况如下：

x	(0,lnk)	lnk	(lnk,+∞)
f(x)	－	0	＋
f(x)	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在[0,+∞上，f(x)≥f(lnk)=k-klnk.

依题意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.

综合①②实数k的取值范围为(0,e). …………………………14分