Question

3．已知函数f（x）=|2x-m|-3x，m≠0．
（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≤1-2x的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x丨x≥1}，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=3代入，解不等式|2x-3|-3x≤1-2x即可；（Ⅱ）通过讨论m的范围，得到不等式组，从而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）当m=3时，由f（x）≤1-2x得：
|2x-3|-3x≤1-2x，
即|2x-3|≤1+x，
∴-1-x≤2x-3≤1+x，
∴$\frac{2}{3}$≤x≤4；
（Ⅱ）由不等式f（x）≤0得：
|2x-m|≤3x⇒$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{m}{2}}\\{x≥-m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{m}{2}}\\{x≥\frac{m}{5}}\end{array}\right.$，
①若m＜0，不等式的解集是：
{x|x≥$\frac{m}{2}$}∪{x|$\frac{m}{5}$≤x＜$\frac{m}{2}$}={x|x≥$\frac{m}{5}$}，
∵{x|x≥$\frac{m}{5}$}?{x|x≥1}⇒0＜m≤5，
②若m＜0，不等式的解集是：
{x|x≥-m}∪{x|$\frac{m}{5}$≤x＜$\frac{m}{2}$}，
∵{x|x≥-m}∪{x|$\frac{m}{5}$≤x＜$\frac{m}{2}$}?{x|x≥1}，
∴-1≤m＜0，
综上：m的范围是[-1，0）∪（0，5]．

点评 不同考查了绝对值不等式的性质，考查了集合问题，本题是一道中档题．