Question

在平面直角坐标系中，已知向量a＝(x，y－)，b＝(kx，y＋)(k∈R)，a⊥b，动点M(x，y)的轨迹为T.

(1)求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；

(2)当k＝时，已知点B(0，－)，是否存在直线l：y＝x＋m，使点B关于直线l的对称点落在轨迹T上？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)∵ a⊥b，

∴a·b＝(x，y－)·(kx，y＋)＝0，

得kx²＋y²－2＝0，即kx²＋y²＝2，

当k＝0时，方程表示两条与x轴平行的直线；

当k＝1时，方程表示以原点为圆心，以为半径的圆；

当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆；

当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.

(2)当k＝时，动点M的轨迹T的方程为＋＝1，设满足条件的直线l存在，点B关于直线l的对称点为B′(x₀，y₀)，则由轴对称的性质可得：

＝－1，＝＋m，解得：

x₀＝－－m，y₀＝m，

∵点B′(x₀，y₀)在轨迹T上，

∴＋＝1，

整理得3m²＋2m－2＝0，

解得m＝或m＝－，

∴直线l的方程为y＝x＋或y＝x－，

经检验y＝x＋和y＝x－都符合题意，

∴满足条件的直线l存在，其方程为y＝x＋或y＝x－.