Question

（2012•重庆）已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式
（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，求正整数k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差等于d，则由题意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2，从而得到{a_n}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {a_n}的前n项和为S_n =

n(a1+an)

2

=n（n+1），再由ak2=a₁ S_k+2 ，求得正整数k的值．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差等于d，则由题意可得

2a1+2d=8 2a1+4d=12

，解得 a₁=2，d=2．
∴{a_n}的通项公式 a_n =2+（n-1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {a_n}的前n项和为S_n =

n(a1+an)

2

=n（n+1）．
∵若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，∴ak2=a₁ S_k+2 ，
∴4k² =2（k+2）（k+3），k=6 或k=-1（舍去），故 k=6．

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．