Question

如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形一边上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形两直角边再分别连接着一个正方形，如此继续下去，共得到127个正方形．若最后得到的正方形的边长为1，则初始正方形的边长为

8

．

Answer 1

分析：由初始的一个正方形，第一次增长2个正方形，第两次增长4个正方形，…，总结第n次增长2ⁿ个正方形，发现正方形的总个数其组成的数列是以1为首项，2为公比的等比数列，根据正方形的总个数为127个，利用等比数列的求和公式列出关于n的方程，求出方程的解得到n的值，再设初始正方形的边长为a，根据其中的三角形为等腰直角三角形，可得出最后正方形边长与初始正方形边长的关系，由最后正方形的边长为1即可求出初始正方形的边长．

解答：解：第一次增长2个正方形，第二次增长4个正方形，…，第n次增长2ⁿ个正方形，
∴1+2+2²+…+2ⁿ=127，即

1-2n+1

1-2

=127，解得n=6，
设初始正方形的边长为a，
则a=

1

( 2 2 )6

=8．
故答案为：8

点评：此题考查了等比数列的前n项和公式，以及等比数列的通项公式，根据题意总结得出一般性的规律是解本题的关键．