Question

已知数列的首项为a₁=2，前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，当n≥2时，a_n总是3S_n-4与的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（n+1）a_n，T_n是数列{b_n}的前n项和，n∈N^*，求T_n；
（Ⅲ）设，P_n是数列{c_n}的前项和，n∈N^*，试证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）当，由此能导出数列{a_n}是首项是2，公比是的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由，知T_n=b₁+b₂+…b_n=，利用错位相减法能求出T_n．
（Ⅲ）由=，能够证明．
解答：（Ⅰ）解：当，


∴．
∴数列{a_n}是首项是2，公比是的等比数列，
∴=．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），知．
则T_n=b₁+b₂+…b_n=…①
∴…②…（5分）
①-②，得
=
=．
∴．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵
=…（12分）
∴
=．…（14分）
点评：本题考查数列通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，注意错位相减法的合理运用．