Question

（2013•南通三模）已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q（q＞1）的等比数列．
（1）若a₅=b₅，q=3，求数列{a_n•b_n}的前n项和；
（2）若存在正整数k（k≥2），使得a_k=b_k．试比较a_n与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由q=3，b₁=1可求得b₅，从而得到a₅，由a₁=1及通项公式可求得a_n，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和；
（2）由a_k=b_k，即1+（k-1）d=q^k-1，得d=

qk-1-1

k-1

，an=1+(n-1)

qk-1-1

k-1

，作差b_n-a_n变形，然后分1＜n＜k时，当n＞k时，n=1三种情况讨论讨论差的符号即可作出大小比较；

解答：解：（1）依题意，a5=b5=b1q5-1=1×34=81，
故d=

a5-a1

5-1

=

81-1

4

=20，
所以a_n=1+20（n-1）=20n-19，
令Sn=1×1+21×3+41×32+…+(20n-19)•3n-1，①
则3Sn=1×3+21×32+…+(20n-39)•3n-1+(20n-19)•3n，②
①-②得，-2Sn=1+20×(3+32+…+3n-1)-(20n-19)•3n=1+20×

3(1-3n-1)

1-3

-(20n-19)•3n=（29-20n）•3ⁿ-29，
所以Sn=

(20n-29)•3n+29

2

．             
（2）因为a_k=b_k，所以1+（k-1）d=q^k-1，即d=

qk-1-1

k-1

，
故an=1+(n-1)

qk-1-1

k-1

，
又  bn=qn-1，
所以bn-an=qn-1-[1+(n-1)

qk-1-1

k-1

]
=

1

k-1

[(k-1)(qn-1-1)-(n-1)(qk-1-1)]
=

q-1

k-1

[(k-1)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+q+1)]，
（ⅰ）当1＜n＜k时，由q＞1知，
bn-an=

q-1

k-1

[(k-n)(qn-2+qn-3+…+q+1)-(n-1)(qk-2+qk-3+…+qn-1)]＜

q-1

k-1

[(k-n)(n-1)qn-2-(n-1)(k-n)qn-1]
=-

(q-1)2qn-2(k-n)(n-1)

k-1

＜0；
（ⅱ）当n＞k时，由q＞1知，
bn-an=

q-1

k-1

[(k-1)(qn-2+qn-3+…+qk-1)-(n-k)(qk-2+qk-3+…+q+1)]＞

q-1

k-1

[(k-1)(n-k)qk-1-(n-k)(k-1)qk-2]
=（q-1）²q^k-2（n-k）＞0，
综上所述，当1＜n＜k时，a_n＞b_n；当n＞k时，a_n＜b_n；当n=1时，a_n=b_n．

点评：本题考查等差数列、等比数列的综合、数列求和，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，本题综合性强，难度较大．