Question

如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，是AC的中点，已知，．

（1）求证：OD//平面VBC；

（2）求证：AC⊥平面VOD；

（3）求棱锥的体积．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3） 故棱锥C-ABV的体积为．

【解析】

试题分析：（1）证明： ∵ O、D分别是AB和AC的中点

∴OD//BC 1分

又OD面VBC，BC面VBC，

∴OD//平面VBC． 3分

（2）证明： ∵VA=VB，O为AB中点

∴VO⊥AB， 4分

连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC，

∴△VOA≌△VOC， ∴∠VOA＝?VOC＝90?

∴VO⊥OC， 6分

∵AB∩OC＝O，AB平面ABC，OC平面ABC，

∴VO⊥平面ABC 7分

∵AC平面ABC，∴AC⊥VO， 8分

又∵VA＝VC，D是AC的中点， ∴AC⊥VD 9分

∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD＝V，

∴ AC平面DOV 10分

（3）解：由（2）知VO是棱锥V-ABC的高

且 11分

又∵点C是弧的中点，∴CO⊥AB，且CO＝1，AB＝2，

∴三角形的面积 12分

∴棱锥V-ABC的体积为，

故棱锥C-ABV的体积为 ． 14分

考点：考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的判定，锥体的体积．