Question

如果函数f （x）满足：对任意的实数 x，y都有 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ） 且f （ 1 ）=2，则=________．

Answer 1

2046
分析：先由f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得f （ 2x）=f （ x ）²?=f（x）．以及=2，两个结论相结合可得=f（n）=2ⁿ．把问题转化为求等比数列的和，再代入求和公式即可．
解答：由 f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）得 f （ 2x）=f （ x ）²?=f（x）．
∵f （ x+y ）=f （ x ）•f （ y ）?f （ x+1 ）=f （ x ）•f （ 2 ）=2f（x）?=2，
所以数列{f（n）}是以2为首项，2为公比的等比数列，故f（n）=2×2^n-1=2ⁿ．
∴=f（n）=2ⁿ．
则=2¹+2²+2³+…+2¹⁰==2¹¹-2=2046．
故答案为：2046．
点评：本题主要考查抽象函数及其应用．抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．