Question

（2012•浙江）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^*，数列{b_n}满足a_n=4log₂b_n+3，n∈N^*．
（1）求a_n，b_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）由S_n=2n²+n可得，当n=1时，可求a₁=，当n≥2时，由a_n=s_n-s_n-1可求通项，进而可求b_n
（II）由（I）知，anbn=(4n-1)•2n-1，利用错位相减可求数列的和

解答：解（I）由S_n=2n²+n可得，当n=1时，a₁=s₁=3
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2n²+n-2（n-1）²-（n-1）=4n-1
而n=1，a₁=4-1=3适合上式，
故a_n=4n-1，
又∵足a_n=4log₂b_n+3=4n-1
∴bn=2n-1
（II）由（I）知，anbn=(4n-1)•2n-1
Tn=3×20+7×2+…+(4n-1)•2n-1
2T_n=3×2+7×2²+…+（4n-5）•2^n-1+（4n-1）•2ⁿ
∴Tn=(4n-1)•2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]
=（4n-1）•2ⁿ-[3+4•

2(1-2n-1)

1-2

]
=（4n-1）•2ⁿ-[3+4（2ⁿ-2）]=（4n-5）•2ⁿ+5

点评：本题主要考查了数列的递推公式an=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

在数列的通项公式求解中的应用，数列求和的错位相减求和方法的应用．