题目内容

若方程x²+（ $数学公式$ sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，数列1， $数学公式$ + $数学公式$ ，（ $数学公式$ + $数学公式$ ）²，…的所有项的和为2- $数学公式$ ，试求θ的值．

解：∵方程x²+（ $\text{[math]}$ sin2θ）x+2cosθ=0（其中0＜θ＜π的两实根为α、β，
∴△=（ $\text{[math]}$ sin2θ）²-4×2cosθ≥0 …（1）
且α+β=- $\text{[math]}$ sin2θ，αβ=2cosθ
由题意，得| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ |＜1，
∴| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ |sinθ|＜1，即|sinθ|＜ $\text{[math]}$
∵0＜θ＜π，∴0＜sinθ＜ $\text{[math]}$ …（2）
∵等比数列1， $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）²，…的所有项的和为S= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，解之得sinθ= $\text{[math]}$ ，符合（2）
∴θ= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，经检验θ= $\text{[math]}$ 不满足（1），故只有θ= $\text{[math]}$ 符合题意
综上所述，θ的值为 $\text{[math]}$
分析：根据一元二次方程根与系数的关系，得α+β=- $\text{[math]}$ sin2θ，αβ=2cosθ．由无穷等比数列的求和公式，得 $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，解得sinθ= $\text{[math]}$ ，所以θ= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，而θ= $\text{[math]}$ 时原方程无实数根，故只有θ= $\text{[math]}$ 符合题意，得到本题的答案．
点评：本题以一元二次方程根与系数的关系和根的判别式为载体，考查了三角函数的化简求值和无穷递缩等比数列求和公式等知识点，属于中档题．