Question

（本题满分12）

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2-(+1)a_n(n≥1)．

（Ⅰ）求证：数列{}是等比数列；

（Ⅱ）设数列{2ⁿa_n}的前n项和为T_n，A_n=.试比较A_n与的大小。

Answer 1

_解：

（Ⅰ）由a₁=S₁=2-3a₁得a₁=，           ……………………………1分

由S_n=2-(+1)a_n得S_n-1=2-(+1)a_n-1，于是a_n=S_n- S_n-1=(+1)a_n-1-(+1)a_n，

整理得 =×（n≥2）,                ……………………………3分

所以数列{}是首项及公比均为的等比数列.   ……………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=×=.    ……………………………………5分

于是 2ⁿa_n=n，T_n=1+2+3+…+n=，          ……………………………6分

_，

A_n=2[（1-）+（-）+…+=2（1-）=.

                                               ……………………………8分

又=,问题转化为比较与的大小,即与的大小.

设f(n)= ，g(n)= .

∵f(n+1)-f(n)=，当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,

∴当n≥3时f(n)单调递增，  .…………………………………………………10分

∴当n≥4时，f(n) ≥f(4)=1，而g(n)<1, ∴当n≥4时f(n) >g(n)，

经检验n=1,2,3时，仍有f(n) ≥g(n)，因此，对任意正整数n，都有f(n) >g(n),

即A_n <.                                 ……………………………12分