Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-c，0），C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等．
（Ⅰ）求椭圆的离心率e的取值范围；
（Ⅱ）若已知椭圆的左焦点为（-1，0），右准线为x=4，圆x²+y²=的切线与椭圆交于A、B两点，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），根据C上存在一点P到椭圆左焦点的距离与到椭圆右准线的距离相等，可得方程．利用x≤a，可建立不等关系，从而可求离心率e的取值范围；
（Ⅱ）求求椭圆方程，再分斜率存在与不存在，利用直线方程与椭圆方程联立，借助于韦达定理，从而得解．
解答：解：（Ⅰ）设点P的坐标为P（x，y），则|PF₁|=a+ex，P到右准线的距离为，
故，…（2分）
化简整理，得，而x≤a，
∴，即e²+2e-1≥0，解得．…（5分）
（Ⅱ）易求得椭圆的方程为．…（7分）
设切线AB不垂直于x轴时，AB的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则原点到直线 AB的距离为．…（9分）
联立方程，
可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．…（10分）
∴
∴．
即OA⊥OB．…（12分）
当AB垂直于x轴时，AB的方程为，代入椭圆方程得．
易得：OA⊥OB．
综上圆x²+y²=的切线与椭圆交于A、B两点，且总有OA⊥OB．…（14分）
点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的性质，关键是直线方程与椭圆方程的联立．