Question

已知椭圆．过点（m，0）作圆x²+y²=1的切线I交椭圆G于A，B两点．
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的定义和点到直线的距离公式即可求解；
（II）由题意即m得取值范围分m=1时，m=-1及当m≠±1三大类求出|AB|的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到k与m之间关系等式，利用
解答：解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=
∴椭圆G的焦点坐标 离心率e=．
（II）由题意知：|m|≥1，
当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，）  点B（1，-） 此时|AB|=；
当m=-1时，同理可得|AB|=；
当|m|＞1时，设切线l的方程为：y=k（x-m），由⇒（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则x₁+x₂=  
又由l与圆圆x²+y²=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1⇒m²=，
所以|AB|=
==，由于当m=±1时，|AB|=，
当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（-∞，-1]∪[1，+∞）
又|AB|=≤2（当且仅当m=±时，|AB|=2），
所以，|AB|的最大值为2．
故|AB|的最大值为2．
点评：此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问，重点考查了利用m的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立m与k的关系等式，还考查两点间的距离公式及又m的范围解出|AB|的最值．